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NSM-017
写像と準同型 — やさしい入門
NSM-016（半群の数学的定義） §2 に出てくる「写像」「準同型」の橋渡し解説
作成日: 2026-05-26 / NSM-016 橋渡し / Mathematics in Neuroscience プレゼン準備
【本ノートの位置づけ】
このノートは数学が苦手な人向けのやさしい入門です。直感と具体例を重視し、数式は最小限にとどめます。厳密な定義や証明は NSM-016（半群の数学的定義） を参照してください。
このノートで分かること: NSM-016 の §2 で「写像 P : [0,∞) → L(X)」「半群準同型」という言葉が出てきます。これらは難しい言葉に見えますが、中学・高校で習った「関数」と本質的に同じ発想です。このノートでは日常的な例から出発し、その言葉の意味を順番に積み上げます。
§1. 写像とは「入れたら出てくる装置」
結論を先に
写像 = 関数の親戚。中学・高校の「関数」と本質的に同じ。
「数 → 数」の対応を「関数」と呼ぶことが多く、「集合の要素 → 集合の要素」の対応を「写像」と呼ぶことが多い。本質は同じで、入力を決めたら出力が必ず一つ定まる規則のこと。
[確信度: 教科書確認済み]
写像の定義を一行で言うと:
集合 A の各要素に、集合 B の要素を必ず一つ対応させる規則
「必ず一つ」というのが大事です。同じ入力に対して出力が二種類あっては困る（一つの数の平方根が +3 でも −3 でも、どちらも答え、とはならない）。
日常例で理解する
自動販売機: 「お金（入力）」→「飲み物（出力）」。100円を入れたら必ずコーラが出てくる（同じ入力 → 同じ出力）。
翻訳アプリ: 「日本語の単語（入力）」→「英語の単語（出力）」。「猫」と入れたら必ず "cat" が出てくる。
画像フィルタ: 「カラー画像（入力）」→「白黒画像（出力）」。同じカラー画像を通せば必ず同じ白黒画像になる。
図 1. 写像の概念図。集合 A の各要素が矢印で集合 B の要素に対応する。
「関数」と「写像」の使い分け
| 用語 | 入力 | 出力 | 典型的な使用場面 |
|---|
| 関数 | 数（実数・複素数） | 数 | y = x², sin(x) など高校数学 |
| 写像 | 集合の任意の要素 | 集合の任意の要素 | より抽象的な数学（代数、解析） |
| 本質的には同じ概念。「関数」は「写像」の特別ケース（数の集合に限定したもの）と思ってよい。 |
[確信度: 教科書確認済み]
CTMC での写像: P : [0,∞) → L(X)
NSM-016 の §2 には P : [0,∞) → L(X) という表記が出てきます。これを日本語で読み下すと:
P は「0 以上の実数（時間）を入れたら、L(X) の行列が出てくる装置」
ここで:
- [0,∞) = 入力側の集合 = 非負の実数（時間 t）
- L(X) = 出力側の集合 = 状態数×状態数の行列全体の集合
- P = その対応規則（時間を入れたら遷移確率行列が出てくる）
| 入力 t（時間） | 出力 P(t)（遷移確率行列） | 意味 |
|---|
| t = 0 | P(0) = I（単位行列） | 時間ゼロ = 何も起きていない |
| t = 0.5 | P(0.5) = （ある行列） | 0.5 秒後の遷移確率 |
| t = 2.3 | P(2.3) = （ある行列） | 2.3 秒後の遷移確率 |
| t = ∞ | P(∞) = （定常分布の行列） | 十分長い時間後の定常状態 |
時間という「数」を入れたら行列が出てくる — これが CTMC における写像 P の正体です。
§2. 準同型とは「構造を保つ写像」
結論を先に
準同型 = 写像のうち、入力側の「演算の構造」を出力側の「演算の構造」にきちんと対応させるもの。
ただの写像が「要素を対応させる」のに対し、準同型は「要素を組み合わせる方法（演算）ごと対応させる」。
[確信度: 教科書確認済み]
「翻訳」の例えで理解する
良い翻訳者は、単語だけでなく文の構造も保ちます:
日本語の「3 + 5 = 8」を英語に翻訳すると「three plus five equals eight」。
3 と 5 の「足し算」という構造が、翻訳後も「plus」という足し算の構造として保たれている。
一方、バラバラに訳した場合:
「3」→「three」、「+」→「and」、「5」→「five」のようにバラバラに訳して「three and five」にしてしまうと、足し算の構造が壊れる。これは「構造を保っていない」写像。
形式的な書き方（最小限）
集合 A に演算「·」があり、集合 B に演算「⋆」があるとします。このとき写像 f が準同型とは:
f(a · b) = f(a) ⋆ f(b)
読み下し: 「A で先に組み合わせてから f を通した結果」と「f を通してから B で組み合わせた結果」が等しい。どちらの順番でやっても同じ答えになる。
図 2. 準同型の概念図。「先に演算してから変換」と「先に変換してから演算」が同じ結果を生む。
数の世界の身近な例
| 写像 | A の演算 | B の演算 | 準同型の式 |
|---|
| log（対数） |
掛け算 × |
足し算 + |
log(a × b) = log(a) + log(b) |
| exp（指数） |
足し算 + |
掛け算 × |
exp(a + b) = exp(a) × exp(b) |
log は「掛け算の世界」と「足し算の世界」をつなぐ準同型です。掛け算が難しい（桁が大きい等）場面で、対数を取って足し算に変換するのは、まさにこの準同型性を使っています。
[確信度: 教科書確認済み]
§3. 半群準同型 — 半群同士の対応（CTMC の文脈）
CTMC での半群準同型の正体
P(t+s) = P(t) · P(s) という式 — これが「半群準同型」の正体です。
- 入力側の半群: ([0,∞), +) = 「時間の世界」。時間 t と s を足し算で組み合わせる。
- 出力側の半群: (L(X), ·) = 「行列の世界」。行列 P(t) と P(s) を行列の掛け算で組み合わせる。
- 写像 P がこれら 2 つの半群をつなぐ準同型になっている。
[確信度: 教科書確認済み]
言葉で読み解く
「t 秒後の遷移確率」と「s 秒後の遷移確率」を別々に計算してから掛ける → これが P(t) · P(s)。
「t+s 秒後の遷移確率」を一気に計算する → これが P(t+s)。
この二つが等しい、というのが Chapman-Kolmogorov 等式であり、P が半群準同型であることの意味です。
log との類比
| log の準同型 | P の準同型（CTMC） |
|---|
| A の演算 | 掛け算 × | 時間の足し算 + |
| B の演算 | 足し算 + | 行列の掛け算 · |
| 準同型の式 | log(a×b) = log(a)+log(b) | P(t+s) = P(t)·P(s) |
| 何をやっているか | 掛け算 → 足し算に変換 | 時間の足し算 → 行列の掛け算に変換 |
図 3. 半群準同型 P の概念図。時間の足し算 t+s が、行列の掛け算 P(t)·P(s) に対応する。
なぜ「半群」なのか
時間 ([0,∞), +) は「足し算の結合律」を満たします（(t+s)+u = t+(s+u)）。行列 (L(X), ·) も「行列の掛け算の結合律」を満たします（(AB)C = A(BC)）。どちらも「結合律が成り立つ集合と演算の組」= 半群です。P はこの 2 つの半群をつなぐ写像なので「半群準同型」と呼びます。
詳細は NSM-016（半群の数学的定義） の §1〜§2 を参照してください。
図 4. 「写像」から「半群準同型」への概念の積み上げ。それぞれの条件が追加されていく。
確信度まとめ
| 節・内容 | 確信度 | 根拠 |
|---|
| §1 写像の定義・「関数」との使い分け | 教科書確認済み | 標準的代数の定義 |
| §1 CTMC での P : [0,∞) → L(X) の解釈 | 教科書確認済み | NSM-016 §2 本文に基づく |
| §2 準同型の定義・log/exp の例 | 教科書確認済み | 標準的代数の定義 |
| §3 P(t+s)=P(t)·P(s) が半群準同型 | 教科書確認済み | NSM-016 §2・NSM-014 本文に基づく |
参考文献
NSM-016: 半群の数学的定義（本サイト）— 準同型の形式的定義・半群の代数構造
NSM-014: 遷移確率半群と Chapman-Kolmogorov（本サイト）— P(t+s)=P(t)P(s) の導出
NSM-001: 連続時間マルコフ連鎖の数学的定義（本サイト）— 写像 P の前提条件
NSM-008: P(t)=exp(Qt) に至る論理順序（本サイト）— 半群準同型の役割
作成日: 2026-05-26 / NSM-016 橋渡し入門 / Mathematics in Neuroscience プレゼン準備