NSM-010

CTMC が指数分布を生む — Q 行列の固有値構造による統一的説明

作成日: 2026-05-23 / §3–§5 統合メタノート / Mathematics in Neuroscience プレゼン準備

このドキュメントの核心:
連続時間マルコフ連鎖 (CTMC) の無記憶性が単一状態の滞在時間を指数分布にする。
Open/Closed しか観測できない実験では、Closed 内部の多状態構造が観測 dwell time の形を変える。
直列構造 → 畳み込み (Erlang / hypoexponential, peak あり) / 並列構造 → 指数の和 (mixture, 単調減少)。
これは $Q_{CC}$ の固有値・固有ベクトル構造から統一的に説明できる：
  固有値の個数 = 指数の本数 = 状態数 / 係数の符号 = 並列か直列かの判定子

1. CTMC の無記憶性 — なぜ単一状態の滞在時間が指数分布になるか

1.1 連続時間マルコフ連鎖とは

連続時間マルコフ連鎖 (CTMC) は確率過程 $\{X(t)\}_{t \ge 0}$ で、有限状態空間 $S = \{1, 2, \ldots, n\}$ 上を「指数的な滞在時間 + 瞬間的な状態遷移」のサイクルで動く。マルコフ性（無記憶性）とは：

$$P\bigl(X(t+s)=j \mid X(s)=i,\; X(u) \text{ for } u \le s\bigr) = P\bigl(X(t+s)=j \mid X(s)=i\bigr)$$

「現在の状態だけが未来を決める — 過去の履歴は無関係」という条件である。

1.2 無記憶性 ↔ 指数分布 (必要十分)

状態 $i$ に入った直後からの滞在時間 $T_i$ を考える。マルコフ性の直接の帰結として:

命題: 連続な確率分布が無記憶性 $$P(T_i > t+s \mid T_i > s) = P(T_i > t) \quad \forall\, t, s \ge 0$$ を満たす 必要十分条件 は、指数分布であること。

証明の概略: $G(t) = P(T_i > t)$ とおくと、上の関数方程式は $G(t+s) = G(t)G(s)$ を意味する。連続な解は $G(t) = e^{-\lambda t}$（$\lambda > 0$）のみ。これがまさに指数分布の生存関数。

CTMC では状態 $i$ の離脱率は $|q_{ii}|$ で一定（時刻によらない）ゆえ、マルコフ性が自動的に成立し：

$$T_i \sim \text{Exp}(|q_{ii}|), \qquad E[T_i] = \frac{1}{|q_{ii}|}$$
t 状態 i T_i (指数分布) 入場 退場 t=s での「残り」 t=s 無記憶性: s 時点で「まだいる」と分かっても 残り時間の分布は変わらない P(T_i > t+s | T_i > s) = P(T_i > t) ⟺ T_i ~ Exp(|q_ii|) （連続分布で無記憶性を持つのは指数分布だけ）
図 1. CTMC の無記憶性：過去の履歴によらず、現在残っている滞在時間の分布は常に同じ指数分布。これが $T_i \sim \text{Exp}(|q_{ii}|)$ の本質的な根拠。

2. 観測の制約 — Open/Closed の 2 値しか見えない

実験で観測できるのは「チャネルが開いている (Open)」か「閉じている (Closed)」の 2 値のみ。しかし内部では複数の Closed 状態（あるいは複数の Open 状態）が存在しうる。観測される dwell time ヒストグラムは、隠れた多状態構造の「影」である。

核心的問い: 隠れた状態が複数あるとき、観測される dwell time の分布はどう変わるか？
答えは「Closed 状態群の接続トポロジー（直列か並列か）で決まる」— 以下で詳解する。

3. 直列構造 — 畳み込み (Erlang / hypoexponential) と peak

3.1 状態遷移図

最も単純な直列型の例： $C_1 \to C_2 \to C_3 \to O$。チャネルが Open から Closed に入ると、必ず $C_1$ から始まり、$C_2$、$C_3$ を順番に経由して初めて Open に戻れる。

O C₃ C₂ C₁ α₁ β₁ α₂ β₂ γ δ 直列構造: C₁ → C₂ → C₃ → O t f(t) peak Erlang 型 — peak あり
図 2. 直列構造 (C₁→C₂→C₃→O) の状態遷移図と、Closed 側の観測 dwell time 分布の概形。複数の状態を順番に通過するため、分布は peak（山型）を持つ。

3.2 なぜ畳み込み → Erlang / hypoexponential になるか

簡単のため、逆向きの遷移を無視した純直列近似 ($\beta_i = 0$、すなわち $C_i$ からは次の $C_{i+1}$ にしか進めない) を考える。Closed 全体の滞在時間 $T_C$ は：

$$T_C = T_{C_1} + T_{C_2} + T_{C_3}, \qquad T_{C_i} \sim \text{Exp}(\alpha_i) \text{ 独立}$$

各 $T_{C_i}$ が独立な指数分布であり、それらの確率変数の和の分布は、密度関数の畳み込み $f_1 * f_2 * f_3$ で与えられる。等速 ($\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha$) なら厳密な Erlang 分布、異レートなら hypoexponential 分布：

$$f_{T_C}(t) = \frac{\alpha^3\, t^2\, e^{-\alpha t}}{2!}, \qquad \text{peak at } t = \frac{2}{\alpha}$$

peak の位置は $t = (n-1)/\alpha$（$n$ は状態数）。peak の存在が直列構造の指紋である。

4. 並列構造 — 指数の和 (mixture) 分布と単調減少

4.1 状態遷移図

並列型の例： $O \to \{C_1, C_2\}$。Open から Closed に入る際、確率 $p_1$ で $C_1$、確率 $p_2$ で $C_2$ に分岐する。$C_1$、$C_2$ はそれぞれ独立に Open に戻る。

O C₁ C₂ p₁·γ α₁ p₂·γ α₂ 並列構造: O → {C₁, C₂} t C₁ (速い) C₂ (遅い) 混合分布 (単調減少)
図 3. 並列構造 (O→{C₁,C₂}) の状態遷移図と、Closed 側の観測 dwell time 分布の概形。どちらの状態に入ったかで時定数が異なり、全確率の公式で mixture が得られる。分布は単調減少（peak なし）。

4.2 なぜ mixture になるか（全確率の公式）

Open → Closed の遷移で、状態 $C_1$ に入る確率を $p_1$、$C_2$ に入る確率を $p_2$（$p_1 + p_2 = 1$）とする。各 $C_i$ の滞在時間は $T_{C_i} \sim \text{Exp}(\alpha_i)$。全確率の公式より：

$$f_{T_C}(t) = p_1\, \alpha_1 e^{-\alpha_1 t} + p_2\, \alpha_2 e^{-\alpha_2 t}$$

すべての係数 $p_1 \alpha_1, p_2 \alpha_2$ が正であり、$f_{T_C}(0) = p_1 \alpha_1 + p_2 \alpha_2 > 0$。$f'(0) < 0$ なので単調減少（peak なし）。

5. Q 行列による統一的説明 — $Q_{CC}$ の固有値・固有ベクトル構造

5.1 Q 行列の block 分割

状態を Open 群 ($\mathcal{O}$) と Closed 群 ($\mathcal{C}$) に分けて Q 行列を block 表示する：

$$Q = \begin{pmatrix} Q_{OO} & Q_{OC} \\ Q_{CO} & Q_{CC} \end{pmatrix}$$

各 block の意味：$Q_{CC}$ は Closed 内部での遷移速度行列、$Q_{CO}$ は Closed から Open への脱出速度、$Q_{OC}$ は Open から Closed への進入速度。

Q 行列 (Closed×3, Open×1 の例) C₁ C₂ C₃ O C₁ C₂ C₃ O Q_CC 固有値が指数の速度を決める Q_CO Q_OC (Open→Closed 進入) ★ ★ 0 ★ ★ ★ ★ 0 0 ★ ★ ★ ★ 0 ★ ★ Q_CC の固有値 λ_k すべて負 (λ_k < 0) │λ_k│= 各指数成分の速度 固有値の個数 = Closed 状態数 = 観測される指数の本数 （§3 のメッセージの数学的正体）
図 4. Q 行列を Open/Closed で block 分割した視覚。$Q_{CC}$ の固有値が各指数成分の速度（時定数の逆数）を決め、その個数が観測される指数の本数に等しい。

5.2 Closed dwell time の一般公式の導出

時刻 $t=0$ に Closed 群に入ったとする。初期分布ベクトルを $\boldsymbol{\pi}_C$（Open からの進入確率に基づく確率ベクトル）とする。$Q_{CC}$ の固有値を $\lambda_1, \ldots, \lambda_{n_C}$（すべて負）、右固有ベクトルを列に並べた行列を $V$、左固有ベクトル行列を $V^{-1}$ とすると：

$$e^{Q_{CC}\, t} = V\, \text{diag}(e^{\lambda_1 t}, \ldots, e^{\lambda_{n_C} t})\, V^{-1}$$

Closed 側の dwell time 密度関数は次の形になる：

Closed dwell time の一般公式： $$f_C(t) = \boldsymbol{\pi}_C\; e^{Q_{CC}\, t}\; (-Q_{CC}\,\mathbf{1})$$ 展開すると： $$\boxed{f_C(t) = \sum_{k=1}^{n_C} c_k\, e^{\lambda_k t}, \qquad \lambda_k < 0}$$ - $c_k$：係数（$\boldsymbol{\pi}_C$、$V$、$V^{-1}$、$(-Q_{CC}\mathbf{1})$ によって決まる） - $\lambda_k$：$Q_{CC}$ の第 $k$ 固有値（すべて負） - 正規化条件：$\int_0^\infty f_C(t)\, dt = 1 \Rightarrow \sum_k c_k / |\lambda_k| = 1$

5.3 係数の符号による並列 / 直列の判定

固有値分解による判定基準：

指数の和 / mixture（並列構造）: 全ての $c_k > 0$。$f_C(0) > 0$、単調減少。
畳み込み / Erlang・hypoexponential 型（直列構造）: 一部の $c_k$ が負（符号混在）。純直列（逆遷移なし）かつ初期状態が入口に固定されている場合は $f_C(0) = 0$（$\sum_k c_k = 0$）となり peak あり。

「符号混在 → peak」の直感：負の指数成分が $t=0$ 付近の密度を打ち消し、ある $t^*$ で密度が最大になる。

直列構造 ($C_1 \to C_2 \to C_3 \to O$、逆行なし) での具体例。$Q_{CC}$ は下三角行列で固有値は対角成分 $-\alpha_1, -\alpha_2, -\alpha_3$。Closed 初期状態が $C_1$ に確定 ($\boldsymbol{\pi}_C = (1,0,0)$) の場合：

$$f_C(t) = A_1 e^{-\alpha_1 t} + A_2 e^{-\alpha_2 t} + A_3 e^{-\alpha_3 t}$$

異レート (hypoexponential, $\alpha_1 \ne \alpha_2 \ne \alpha_3$): 上記の純指数和形式が成立し、$A_k$ のうち少なくとも 1 つが負になる（符号混在）。これがプレゼン §3 で示した peak の数学的正体。
等レート (Erlang-3, $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha$): ラプラス変換 $\hat f(s) = \alpha^3/(s+\alpha)^3$ が重根を持つため、純粋な指数和 $\sum A_k e^{-\alpha_k t}$ には分解できない。代わりに多項式 × 指数の形 $f_C(t) = \alpha^3 t^2 e^{-\alpha t}/2$（Erlang-3）になる。peak は同様に存在（$t_{\rm peak} = 2/\alpha$）。

6. 全体像まとめ — 構造 × 分布 × Q 行列の対応

Closed 内部の構造 観測される dwell time 分布 $f_C(0)$ peak $Q_{CC}$ の係数 $c_k$ プレゼン §
単一状態 (C のみ) 指数分布 $\text{Exp}(|q_{CC}|)$ $> 0$ なし $c_1 = |q_{CC}|$（正） §3 基本
直列 (C₁→C₂→…→O) Erlang / hypoexponential $= 0$ あり 符号混在（負の係数含む） §3 / §5
並列 (O→{C₁, C₂}) 指数の mixture $> 0$ なし（単調減少） 全正 §3 / §5
一般混合 (直列+並列) 指数の線形結合（一般 phase-type） $\ge 0$ 構造依存 複号混在（構造次第） §5 以降

7. 全体像フロー — 観測から状態数・構造判定へ

観測 dwell time ヒストグラム fitting 指数の本数 n を数える (§3 核心) = 固有値数 Q_CC の 固有値 λ_k の個数 (§5 数学的正体) 隠れた 状態数 (§3 結論) 係数 c_k の符号確認 係数 $c_k$ の符号 部分分数分解から決まる 全正 mixture (並列) 単調減少・peak なし 符号混在 Erlang 型 (直列) peak あり 固有値の個数 = 状態数 / 係数の符号 = トポロジー判定 — Q_CC のスペクトル分解が §3 の現象論を §5 の代数で説明する —
図 5. 観測ヒストグラムから隠れ状態数・構造判定への全体フロー。固有値の個数が状態数を決め、係数の符号がトポロジー（並列 vs 直列）を判定する。

8. プレゼンでの位置づけ — §3 と §5 を貫く軸

§3（現象論）のメッセージ:
観測 dwell time ヒストグラムを指数でフィットすると「本数」と「peak の有無」が分かる。
本数 = 状態数。peak = 直列構造。
§4（数学的道具）が必要な理由:
「なぜ指数の和 (mixture) や 畳み込み (Erlang/hypoexp) になるのか」を説明するには CTMC / Q 行列 / $e^{Qt}$ が必要。
このノートはその「接続点」を式レベルで提供する。
§5（数学的正体）のメッセージ:
$f_C(t) = \boldsymbol{\pi}_C e^{Q_{CC}t}(-Q_{CC}\mathbf{1})$ を固有値分解すれば
「指数の本数 = $Q_{CC}$ の固有値の個数 = Closed 状態数」が代数的に導かれる。
係数の符号が並列/直列を判定する数学的根拠もここにある。
§3 → §4 → §5 の論理連鎖:

CTMC の無記憶性（§4 の基礎）
  → 単一状態の滞在時間 $\sim \text{Exp}(|q_{ii}|)$
  → 多状態の dwell time = $\sum_k c_k e^{\lambda_k t}$（$Q_{CC}$ の固有値分解）
  → 固有値の個数 = 指数の本数 = 状態数（§3 のメッセージの数学的正体）
  → 係数の符号 = peak の有無 = 並列 vs 直列（§3 の判定基準の代数的根拠）

参考文献

  1. Colquhoun, D. & Hawkes, A. G. (1995). The principles of the stochastic interpretation of ion channel mechanisms. In: Sakmann, B. & Neher, E. (eds.) Single-Channel Recording, 2nd edition, pp. 397–482. Plenum Press, New York. → プロジェクト全体の主要典拠：CTMC から指数分布が導かれる論理連鎖の包括的解説
  2. Colquhoun, D. & Hawkes, A. G. (1981). On the stochastic properties of single ion channels. Proceedings of the Royal Society of London B, 211, 205–235. → 無記憶性・単状態指数滞在時間・Q 行列の固有値と dwell time 分布の関係の原論文
  3. Colquhoun, D. & Hawkes, A. G. (1982). On the stochastic properties of bursts of single ion channel openings and of clusters of bursts. Philosophical Transactions of the Royal Society of London B, 300, 1–59. → 多状態系での固有値分解と指数の本数 = 状態数の対応の詳細展開

関連項目

作成日: 2026-05-23 / §3–§5 統合 / Mathematics in Neuroscience プレゼン準備