NSM-028

固有値の計算 — Q行列から時定数へ

作成日: 2026-06-03 / 対象: 神経科学を学ぶ研究者 (線形代数は高校レベル) / Mathematics in Neuroscience プレゼン準備

このノートの主張:
Q 行列の固有値 λ を求めることで、イオンチャネルのダイナミクスの「速さ」が数値として得られる。
固有値 λ₁ = 0 は定常（平衡）状態を表し、負の固有値 λₖ < 0 は減衰成分を表す。
時定数は $\tau_k = 1/|\lambda_k|$ で与えられ、実験で観測されるヒストグラムの指数成分と対応する。
【本ノートでの用語規約】
「固有値」= eigenvalue = $\lambda$（スカラー値）
「固有ベクトル」= eigenvector = $\mathbf{v}$（方向が変わらないベクトル）
これらは数学・物理・神経科学の文献で用法が統一されている。 🟢

1. 固有値とは何か（直感）

行列 $Q$ は「ベクトルに作用して向きと大きさを変える機械」と見なせる。しかし特別なベクトル $\mathbf{v}$ に対しては、向きを変えず大きさだけを変えるという現象が起こる。このときの「倍率」が固有値 $\lambda$ である。

$$Q\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$$
「Q を掛けても方向が変わらないベクトル v が存在するとき、その倍率を固有値 λ と呼ぶ」
一般のベクトル w Qw は方向が変わる w Qw 角度変化 固有ベクトル v Qv = λv（方向は不変） v Qv = λv 同一直線上（倍率 λ 倍）
図 1. 一般のベクトルは方向が変わる（左）。固有ベクトルは方向が変わらず大きさだけが λ 倍になる（右）。

Q 行列のような行列には複数の固有値・固有ベクトルの組が存在する。それぞれが「独立した減衰モード」に対応し、これがイオンチャネルの dwell time ヒストグラムに複数の指数成分が現れる理由である（NSM-003 参照）。

2. det(Q − λI) = 0 の意味（段階的に分解）

固有値を求めるには $Q\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ を整理する。

整理の手順: $$Q\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$$ $$Q\mathbf{v} - \lambda\mathbf{v} = \mathbf{0}$$ $$(Q - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$$

$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ という（自明でない）解を持つには、行列 $(Q - \lambda I)$ が「潰す方向」を持たなければならない。これは 逆行列が存在しない 条件、すなわち 行列式（determinant）がゼロ であることと等価である。

$$\det(Q - \lambda I) = 0$$
これを「固有方程式」または「特性方程式」と呼ぶ。 🟢

各構成要素の意味

記号 名前 具体例（2×2） 役割
$I$ 単位行列 $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ 何もしない行列（$Iv=v$）
$\lambda I$ スカラー倍単位行列 $\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{pmatrix}$ 対角成分のみが $\lambda$
$Q - \lambda I$ シフトされた行列 $\begin{pmatrix}q_{11}-\lambda & q_{12}\\ q_{21} & q_{22}-\lambda\end{pmatrix}$ 対角成分から $\lambda$ を引いた行列
$\det(\cdot)$ 行列式 $ad - bc$ 行列が「潰すかどうか」の指標。ゼロ = 逆行列なし

行列式の定義（2×2）

2×2 行列の行列式は次の式で定義される。

$$\det\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc$$
行列 a b c d → det = ad − bc a b c d 主対角: ad − a b c d 反対角: bc（引く）
図 2. 2×2 行列式の定義: 主対角の積 ad から反対角の積 bc を引く。

なぜ det = 0 にするか

論理の連鎖:
  1. $(Q - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ に $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ の解がほしい
  2. もし $(Q - \lambda I)$ が逆行列を持つなら、両辺に逆行列を掛けると $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ になってしまう（自明解のみ）
  3. よって $(Q - \lambda I)$ は逆行列を持ってはならない
  4. 「逆行列が存在しない」$\iff$ $\det(Q - \lambda I) = 0$

3. 2状態モデルの具体的計算（Closed ⇌ Open）

最も単純なイオンチャネルモデルとして、Closed (C) と Open (O) の 2 状態間を遷移するモデルを考える。開口率 $\alpha$ ($C \to O$)、閉口率 $\beta$ ($O \to C$) とすると、Q 行列は次のように書ける。

用語の確認: $\alpha$ = 開口速度定数 (opening rate), $\beta$ = 閉口速度定数 (closing rate)。単位は 1/時間（例: ms-1）。🟢

Q 行列の構造（色分け表示）

→ Closed → Open
Closed ↓ $-\beta$ $+\beta$
Open ↓ $+\alpha$ $-\alpha$

青: Closed 状態に関わる成分 / 橙: Open 状態に関わる成分 / 行和ゼロが Q 行列の基本制約

$$Q = \begin{pmatrix} -\beta & \beta \\ \alpha & -\alpha \end{pmatrix}$$

固有方程式の展開

ステップ 1: $Q - \lambda I$ を作る $$Q - \lambda I = \begin{pmatrix} -\beta - \lambda & \beta \\ \alpha & -\alpha - \lambda \end{pmatrix}$$ ステップ 2: 行列式を展開する $$\det(Q - \lambda I) = (-\beta - \lambda)(-\alpha - \lambda) - \alpha\beta$$ ステップ 3: 積を展開する $$= \beta\alpha + \beta\lambda + \alpha\lambda + \lambda^2 - \alpha\beta$$ $$= \lambda^2 + (\alpha + \beta)\lambda$$ ステップ 4: $= 0$ とおいて因数分解 $$\lambda(\lambda + \alpha + \beta) = 0$$
解:
$\lambda_1 = 0$ （定常分布）
$\lambda_2 = -(\alpha + \beta)$ （減衰成分）

2 つの固有値の物理的意味

固有値 値 物理的意味 時定数
$\lambda_1$ $0$ 定常（平衡）分布 $\pi$ に対応。長時間後に残る成分。$e^{0 \cdot t} = 1$（減衰しない）。 $\tau_1 = \infty$（定常状態は減衰しない）
$\lambda_2$ $-(\alpha+\beta)$ 平衡からのずれが指数的に減衰するモード。速いほど素早く平衡に戻る。 $\tau_2 = \dfrac{1}{\alpha+\beta}$

4. 時定数との関係

固有値 $\lambda_k$ と時定数 $\tau_k$ の関係は単純である。

$$\tau_k = \frac{1}{|\lambda_k|}$$

これは指数関数の表記の「2 つの書き方」から直接導かれる。

表記の等価性:

$e^{\lambda_2 t}$ と $e^{-t/\tau_2}$ は同じ式の別表記にすぎない。

$$e^{\lambda_2 t} = e^{-(\alpha+\beta)t} = e^{-t/(1/(\alpha+\beta))} = e^{-t/\tau_2}$$

$\lambda_2 = -(\alpha+\beta)$ を代入すると $\tau_2 = 1/|\lambda_2| = 1/(\alpha+\beta)$ が確認できる。

🟢

直感: $\alpha + \beta$ が大きい（遷移が速い）ほど $\tau_2$ は小さく（短い時定数）、ヒストグラムは急速に減衰する。逆に遷移が遅いと時定数は長くなる。

5. 一般的な手順のフロー図

Q 行列を構成 遷移レートを入力 det(Q − λI) = 0 を解く 特性方程式 → 固有値 λ λ₁ = 0（定常分布） λ₂,...,λk < 0（減衰） k 個の負の固有値 τᵢ = 1/|λᵢ| 各モードの時定数
図 3. Q 行列から時定数を求める一般的な手順。状態数を n とすると、n 個の固有値のうち 1 個は 0、残り (n−1) 個は負の実数になる（既約かつ既約でない例外を除く）。🟢

Q 行列の構造から保証される性質:

参照: Norris, J.R. (1997). Markov Chains. Cambridge University Press. Chapter 2. 🟢

6. 実際の計算 — numpy による数値固有値分解

状態数が 3 以上になると特性方程式の手計算は非常に困難になる。実際の研究では numpy.linalg.eig を使って数値的に固有値を求める。

手計算の限界: 状態数 $n$ に対して特性方程式は $n$ 次多項式になる。$n \geq 5$ では代数的に解くことが原理的に不可能（アーベル–ルフィニの定理）であり、数値計算が必須となる。🟡 
import numpy as np

# 2状態モデルの Q 行列（例: alpha=2.0/ms, beta=0.5/ms）
alpha = 2.0
beta  = 0.5

Q = np.array([
    [-beta,  beta ],
    [ alpha, -alpha]
])

# 固有値と固有ベクトルを同時に取得
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(Q)

print("固有値:", eigenvalues)
# 出力例: [  0.  -2.5]
# λ₁ = 0（定常）, λ₂ = -(alpha+beta) = -2.5（減衰モード）

# 時定数を計算
for i, lam in enumerate(eigenvalues):
    if abs(lam) < 1e-10:
        print(f"λ{i+1} = {lam:.4f}  → 定常分布（減衰なし）")
    else:
        tau = 1.0 / abs(lam)
        print(f"λ{i+1} = {lam:.4f}  → τ = {tau:.4f} ms")
# 出力: λ1 = 0.0000  → 定常分布（減衰なし）
#       λ2 = -2.5000 → τ = 0.4000 ms
t (ms) 確率・振幅 0.4 0.8 1.2 1.6 0 1/e 1 eλ₂t = e−2.5t τ = 0.4 ms 指数減衰 e^{λt} と時定数 τ τ の時点で振幅が 1/e ≈ 0.368 に減衰する
図 4. 固有値 λ₂ = −2.5 (1/ms) に対応する指数減衰。時刻 τ = 1/|λ₂| = 0.4 ms で振幅が 1/e に減衰する。

関連項目

参考文献

NSM-028 / 作成: 2026-06-03 / learn エージェント自動生成