NSM-016

半群の数学的定義

抽象代数としての半群と、CTMC に登場する 1-パラメータ半群の両方を整理する

作成日: 2026-05-26 / §4 補足・半群構造の代数的基盤 / Mathematics in Neuroscience プレゼン準備

【本ノートでの用語規約】

半群 (semigroup): 結合律を満たす集合と二項演算の対 $(S, \cdot)$。単位元・逆元は不要。
1-パラメータ半群: 写像 $T: [0,\infty) \to L(X)$ で $T(0)=I$, $T(t+s)=T(t)T(s)$ を満たすもの。正確には「単位元を持つ」ので 1-パラメータモノイド準同型だが、慣習上「半群」と呼ぶ。
C₀-半群（強連続半群）: 上記に加え $t \to 0^+$ での強連続性 $\|T(t)x - x\| \to 0$ を要求する関数解析的対象。
CTMC 文脈の「遷移確率行列が作る半群」は有限次元の C₀-半群の特殊ケースであり、生成子は有界行列 $Q$。

このノートの目的: 「半群」という語が CTMC の論文・教科書に繰り返し登場する理由を、抽象代数の定義から関数解析の C₀-半群まで一本のストーリーで整理する。NSM-014（遷移確率半群と Chapman-Kolmogorov）が「半群性がどのように成立するか」を扱うのに対し、本ノートは「半群とはそもそも何か」という定義レイヤーを担う。

§0. やさしい導入：数学が苦手な人向け ― 半群を 3 つの角度から

ここでは数式をほぼ使わず、3 つの身近な例で「半群とはどんな概念か」を直感的につかむ。数式による厳密な定義は §1 以降で扱う。

アプローチ 1: しりとり ― 「組み合わせる規則」としての半群

半群とは、何かを順番に組み合わせていく規則がきちんと決まっているもののことだ。具体的に「しりとり」で考えてみよう。

「りんご」＋「ごりら」＝「りんごごりら」
「りんごごりら」＋「らくだ」＝「りんごごりららくだ」
あるいは最初に「ごりら」＋「らくだ」＝「ごりららくだ」をまとめてから「りんご」＋「ごりららくだ」と並べても、同じ「りんごごりららくだ」になる

この「どう括っても結果が変わらない」性質を 結合律 と呼ぶ。しりとりの文字列は結合律を満たす＝しりとりの世界は半群の一例だ。

アプローチ 2: 時間と「群との比較」 ― 「足し算はできるが引き算はできない」

数学には「群 (group)」という概念がある。これは「足し算と引き算が両方できる仲間」だ。整数の加法では 3 + 5 = 8 もできるし、8 − 5 = 3 と元に戻すこともできる。

「半群 (semigroup)」はその半分：足し算だけ。引き算（＝元に戻す操作）はできない。

最もわかりやすい例が 時間の進み方だ：

「3 時間進む」＋「2 時間進む」＝「5 時間進む」← 問題なく組み合わせられる
「5 時間戻る」← 物理的に不可能

だから時間の進み方の世界は半群だ。マルコフ連鎖 (CTMC) が半群になるのは、確率の世界も時間と同じく前にしか進めないからだ。「t 秒後の確率分布」は計算できても、「−t 秒前の確率分布へ戻る」操作は一般に存在しない。

アプローチ 3: 料理のレシピ ― 「手順の積み重ね」としての半群

半群は「手順を順番に積み重ねていくもの」とも捉えられる。料理を例に考えよう。

「炒める」→「煮る」→「味付けする」という手順には 順序に意味がある（結合律：どこで区切っても全体の結果は変わらない）
元に戻すことはできない：炒めた野菜を生の状態に戻す手順は存在しない（逆元なし）
「何もしない」ステップを加えても結果は変わらない：これは単位元の存在を意味し、モノイドと呼ぶ（半群に単位元を足したもの）

CTMC の遷移確率行列 P(t) も「t 秒経つ」という一手順だ。「t 秒経つ」を 2 回続けると「2t 秒経った」状態になる。しかし「−t 秒経つ」（過去に戻る）は確率の世界では存在しない。まさに料理の手順と同じ構造だ。

図 I-1. 3 つのメタファーはいずれも「結合律を満たし、逆元を持たない演算構造」という同じ性質を示す

図 I-2. 時計の右回り（左図）と料理手順の不可逆性（右図）はどちらも「逆元がない半群」の直感的イメージ

3 つのアプローチまとめ

アプローチ	半群のどこを説明	強調点
しりとり	結合律	並びの括り方は結果に影響しない
時間と群の比較	群との違い	引き算できない＝逆元なし＝時間不可逆
料理のレシピ	順序・不可逆性	手順を戻せない（炒めた野菜は生に戻らない）

ここから先（§1〜）は数学的に厳密な定義に入る。
上の 3 例でつかんだ「結合律」と「逆元なし」という直感を、集合・演算・公理の言葉で正確に言い直す。直感が邪魔になると感じたら一度忘れてよい。しかし最後に振り返ると「ああ、あの直感はここだったのか」と見える。

§1. 抽象代数としての半群

[確信度: 教科書確認済み]

定義 1.1 — 半群 (Semigroup)

集合 $S$ と二項演算 $\cdot : S \times S \to S$ の対 $(S, \cdot)$ が半群であるとは、次の公理のみを満たすことをいう：

$$\forall a,b,c \in S,\quad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \qquad \text{（結合律）}$$

単位元の存在も、逆元の存在も要求しない。演算は $S$ 上で閉じている（演算の結果が再び $S$ の元）ことだけが前提。

代数構造の階層

半群は代数構造の最も素朴な段階に位置する。下の階層図を見れば「半群は群の手前」であることが一目でわかる。

図 1. 代数構造の包含関係 — 下に行くほど公理が増える。半群は「結合律のみ」の最もシンプルな構造。

具体例

集合と演算	半群	モノイド	群	理由
$({\mathbb N}_{>0},\ +)$	はい	いいえ	いいえ	$0 \notin {\mathbb N}_{>0}$ なので単位元なし。負の自然数もなし
$({\mathbb N}_{\ge 0},\ +)$	はい	はい	いいえ	$0$ が単位元。$1$ の逆元 $-1$ が ${\mathbb N}$ にない
$({\mathbb Z},\ +)$	はい	はい	はい	$0$ が単位元、$-n$ が逆元
文字列の集合 $\Sigma^+$（長さ $\ge 1$）, 連結演算	はい	いいえ	いいえ	空文字列 $\varepsilon \notin \Sigma^+$、逆演算（文字列「分割」）なし
文字列の集合 $\Sigma^*$（$\varepsilon$ 含む）, 連結演算	はい	はい	いいえ	$\varepsilon$ が単位元。逆元なし
$(n \times n$ 行列全体, $\times)$	はい	はい（$I$ が単位元）	いいえ（逆行列が存在しない行列がある）	可逆行列に限れば群 $GL(n)$

§2. 1-パラメータ半群（CTMC の文脈）

[確信度: 教科書確認済み]

CTMC で現れる「半群」は、時間パラメータ $t \ge 0$ を持つ行列値写像である。これは§1 の抽象的な半群を「時間軸 $([0,\infty), +)$ から行列空間への準同型」として具体化したものだ。

定義 2.1 — 1-パラメータ半群（有限次元版）

$n \times n$ 実行列の空間 $M_n({\mathbb R})$ への写像 $T: [0, \infty) \to M_n({\mathbb R})$ が 1-パラメータ半群 であるとは、次を満たすことをいう：

$T(0) = I \quad$ （初期条件・単位元）
$T(t+s) = T(t)\, T(s) \quad \forall t, s \ge 0 \quad$ （半群性）

CTMC の遷移確率行列 $P(t)$ はこれを満たす（Chapman-Kolmogorov 等式がまさに②に相当）。

なぜ「1-パラメータ半群」という名前か？ — これは加法半群 $([0,\infty), +)$（時間軸）から $M_n({\mathbb R})$ への 半群準同型 を与えているから。すなわち、加法 $t + s$ が行列積 $T(t) T(s)$ に対応する。

なぜ「モノイド準同型」と呼ばないのか：
$([0,\infty), +)$ は単位元 $0$ を持つためモノイドである。$T(0)=I$ という条件がまさに「モノイドの単位元を単位元に写す」ことを要求している。したがって厳密には「1-パラメータモノイド準同型」だが、歴史的慣習により「1-パラメータ半群」と呼ぶ。

図 2. 1-パラメータ半群は「時間軸の加法」を「行列の積」に移す準同型写像。時間は可換 $(t+s=s+t)$ だが、行列積は一般に非可換。

CTMC の遷移確率行列 $P(t)$ との対応

CTMC（NSM-001）の仮定（マルコフ性 + 時間的斉次性）から自動的に $P(t)$ は 1-パラメータ半群になる。詳細は NSM-014 を参照。ここでは結果のみ確認する：

$P(0) = I, \qquad P(t+s) = P(t)\,P(s) \quad \forall t, s \ge 0$

さらに有限次元 CTMC では、行列指数関数（NSM-011）によって

$P(t) = e^{Qt}$

と書ける。ここで $Q$ は 生成作用素（生成子） であり、$Q = \lim_{t \to 0^+} \frac{P(t) - I}{t} = P'(0)$ として定まる。

§3. なぜ「群」でなく「半群」か

[確信度: 確認済み]

CTMC の時間パラメータは $t \ge 0$ であり、負の時間を扱わない。これが「半群」であって「群」でない核心的理由だ。

図 3. 群は時間の両方向（過去・未来）を扱えるが、CTMC の時間は前向きのみ。この非対称性が「半群」を自然な代数構造にする。

「$t < 0$ を許せば群だが……」の詳細

もし $t < 0$ を許して $P(-t)$ を定義しようとすると何が起きるか？形式的に $P(t) = e^{Qt}$ を使えば

$P(-t) = e^{Q(-t)} = e^{-Qt}$

これは行列としては定義できる。しかし 確率行列（各成分 $\ge 0$、各行和 $= 1$）の条件を破る。$Q$ の非対角成分が正（$q_{ij} \ge 0$, $i \ne j$）であるため、$e^{-Qt}$ の成分は $t > 0$ で負になりうる。

具体例（2 状態 CTMC）:
$Q = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ とすると $P(t) = e^{Qt}$ は非負成分行列だが、 $P(-1) = e^{-Q}$ の非対角成分は負となり、「確率」の解釈を失う。
したがって $t < 0$ での $P(t)$ は確率行列ではない。

これが、CTMC において時間パラメータが $[0, \infty)$ に限定され、「半群」が正確な構造記述となる根本的な理由である。

§4. C₀-半群（強連続半群、関数解析）

[確信度: 標準的だが要確認の細部あり]

CTMC のような有限次元の場合を越えて、無限次元 Banach 空間（例えば $L^2$ 上の拡散方程式）を扱う際には、1-パラメータ半群に連続性の仮定を加えた C₀-半群（強連続半群） が重要になる。

定義 4.1 — C₀-半群（Strongly Continuous Semigroup）

Banach 空間 $X$ 上の有界線型作用素の族 $\{T(t)\}_{t \ge 0}$ が C₀-半群 であるとは：

$T(0) = I$
$T(t+s) = T(t)\,T(s) \quad \forall t, s \ge 0$
$\lim_{t \to 0^+} \|T(t)x - x\| = 0 \quad \forall x \in X \qquad$ （強連続性）

③が $t \to 0^+$ での 点列収束（各 $x$ に対して）を要求している点に注意。一様収束（作用素ノルムでの収束）は要求しない。

生成子と Hille-Yosida 定理

C₀-半群の 無限小生成子（生成作用素） $A$ は次で定義される：

$Ax = \lim_{t \to 0^+} \frac{T(t)x - x}{t}$

この極限が存在する $x$ の全体が $A$ の定義域 $D(A)$ である。$A$ が与えられると $T(t) = e^{tA}$ と書き、これを 作用素指数関数 という（無限次元では収束の確認が必要）。

Hille-Yosida 定理 [標準定理・詳細確認推奨]：閉線型作用素 $A: D(A) \subset X \to X$ が C₀-半群の生成子であるための必要十分条件は、

$\exists M \ge 1, \omega \in {\mathbb R}:$ すべての $\lambda > \omega$ に対し $\lambda \in \rho(A)$ かつ $\|(\lambda - A)^{-k}\| \le \frac{M}{(\lambda - \omega)^k} \quad \forall k \ge 1$

（ここで $\rho(A)$ は $A$ のレゾルベント集合。）特に $M=1$ の場合が収縮半群（$\|T(t)\| \le e^{\omega t}$）に対応する Hille-Yosida 定理の最も典型的な形式である。

有限次元 CTMC との関係

図 4. CTMC の遷移確率行列が作る半群は C₀-半群の特殊ケース。有限次元では生成子が有界行列になるため、関数解析の一般論より単純に扱える。

CTMC の遷移確率行列は 有限次元 なので：

生成子 $Q$ は有界な $n \times n$ 行列
行列指数関数 $e^{Qt} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(Qt)^k}{k!}$ の収束は自動的（ノルム評価が容易）
強連続性（C₀ 条件）は有限次元では自動的に成立
Hille-Yosida 定理を持ち出す必要はない

§5. NSM-008 との接続 — 6 ステップでの登場位置

[確信度: NSM-008 の内容から確認済み]

NSM-008「P(t) = exp(Qt) に至る論理順序」は CTMC の仮定から $P(t) = e^{Qt}$ までを 6 ステップで整理している。半群性はそのどこに登場するか？

図 5. NSM-008 の 6 ステップのうち、半群性は Step 2（Chapman-Kolmogorov）で登場する。これが後続ステップの代数的基盤となる。

用語の混同に注意

「半群」という語は文脈によって指すものが変わる。本ノートの各節の対応をまとめる：

文脈	「半群」が指すもの	参照
抽象代数（§1）	$(S, \cdot)$ で結合律のみ満たす代数構造	定義 1.1
CTMC・確率論（§2）	$T: [0,\infty) \to M_n$, $T(0)=I$, $T(t+s)=T(t)T(s)$ を満たす行列族。厳密にはモノイド準同型	定義 2.1
関数解析（§4）	Banach 空間上の有界線型作用素族 + 強連続性（C₀ 条件）	定義 4.1
NSM-008 Step 2	Chapman-Kolmogorov 関係式 $P(t+s)=P(t)P(s)$ が表す構造	§5

教科書では「1-パラメータ半群」「C₀-半群」「強連続半群」「operator semigroup」などの語が混在するが、CTMC の有限次元文脈では§2 の定義で十分。

確信度まとめ

セクション	確信度	コメント
§1 抽象代数の定義（結合律・階層）	教科書確認済み	Lang "Algebra", Mac Lane & Birkhoff "Algebra" に準拠
§2 1-パラメータ半群の定義	教科書確認済み	Norris "Markov Chains" §2.1 に相当
§3 なぜ「群」でなく「半群」か（確率行列の非負性）	確認済み	有限次元 CTMC の文脈で標準的な説明
§4 C₀-半群の定義	標準的だが細部要確認	Pazy "Semigroups of Linear Operators" に準拠する予定。Hille-Yosida の詳細な条件は参照推奨
§4 Hille-Yosida 定理の具体的条件	標準定理	CTMC の有限次元文脈には不要だが言及。正確な条件は Pazy 等を参照

参考文献

Norris, J.R. (1997). Markov Chains. Cambridge University Press. Chapter 2. — CTMC の遷移行列の半群性についての標準的教科書。
Grimmett, G. & Stirzaker, D. (2001). Probability and Random Processes. Oxford University Press. — 確率過程における半群性の基礎。
Pazy, A. (1983). Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer. — C₀-半群の関数解析的理論の標準参考書。Hille-Yosida 定理の詳細。
Lang, S. (2002). Algebra (3rd ed.). Springer. Chapter I. — 半群・モノイド・群の代数的定義。
Colquhoun, D. & Hawkes, A.G. (1977). Relaxation and fluctuations of membrane currents that flow through drug-operated channels. Proc. R. Soc. Lond. B, 199, 231–262. — CTMC をイオンチャネル解析に適用した原論文。

写像と準同型 — やさしい入門 [NSM-017] — 本ノートの §2 で突然出てくる「写像」「準同型」「半群準同型」の言葉を数式なしで解説する橋渡しノート。自販機・翻訳・log の例えで直感を積み上げ、P(t+s)=P(t)·P(s) が「半群準同型」の正体であることを図解。
遷移確率半群と Chapman-Kolmogorov 関係式 — マルコフ性から Q 行列への橋 [NSM-014] — 本ノートが定義する「1-パラメータ半群」の性質が CTMC の仮定からどのように導かれるかの詳細。Chapman-Kolmogorov 等式の証明スケッチ・なぜ「群」でなく「半群」か（本ノート§3 の証明の補完）・2 系統論理連鎖（A/B）を SVG で図解。
P(t) = exp(Qt) に至る論理順序 — 6 ステップの因果連鎖 [NSM-008] — 本ノート§5 が参照する 6 ステップの詳細全体。Step 2（半群性）が Step 3 以降に対してどのように前提となるかを因果フロー図・比較図・スカラーアナロジーで図解。
連続時間マルコフ連鎖 (CTMC) の数学的定義 [NSM-001] — 本ノートの半群が成立するための前提（マルコフ性・時間的斉次性・有限状態空間・標準性）の形式的定義。
行列指数関数 e^{Qt} と Q 行列 — Kolmogorov 方程式の統合解説 [NSM-011] — 1-パラメータ半群の生成子 $Q$ の構造・Kolmogorov 方程式の導出・$e^{Qt}$ のマクローリン展開の各項の確率論的意味を式レベルで詳述する §4 メインノート。